Dunkle Wolken oder Morgenröte einer neuen Physik?

7.3 Die grosse Einheit

Eine Familie hat 15 Fermionen: 12 Quarks (2 Quarks und 2 Antiquarks in jeweils 3 Farben), Lepton, Antilepton und Neutrino. Um definiert zu sein, betrachten wir die Familie von $u,\,d$-Quarks, $e$ und $\nu_e$.

Im Modell von Georgi und Glashow ($SU(5)$) bilden die 3 $u$ und 3 $d$-Quarks, die 3 $u$-Antiquarks und das Positron die Basis einer 10-dimensionalen Darstellung. Die $d$-Antiquarks, Elektron und das Neutrino die Basis einer 5-dimensionalen Darstellung.

$$\begin{eqnarray*} {\bf (10)}&=&\{u_R,u_B,u_w,d_R,d_B,d_W,\bar u_R,\bar u_B,\bar ... ...bar e\} \\ {\bf (5)}&=&\{ \bar d_R,\bar d_B,\bar d_W, e, \nu \} \end{eqnarray*}$$

wobei die Indices $_{R~B~W}$ für die 3 Farben der Colour-$SU(3)$ stehen und der Querstrich $\bar {\,}$ das Antiteilchen bezeichnet.

In einer $S0(10)$ sind diese mit einem Antineutrino zu einer 16-dimensionalen Basis zusammengefasst.

Die Supersymmetrie Die einfachste Supersymmetrische Algebra ist gegeben durch die 4 Erzeugenden der Translationen in Raum und Zeit, d.i. der Energieoperator $\mbox{\bf P}_0$ und die Impulsoperatoren $\vec{\mbox{\bf P}}$ sowie einen Fermionischen Operator $Q_\alpha$ mit den (Anti)-Vertauschungsrelationen:

$$[ \mbox{\bf Q}_\alpha ,\bar {\mbox{\bf Q}}_{\dot {\beta }}]_+ = 2 \mbox{\bf P}_0 - 2 \vec \sigma _{\alpha \dot{\beta }}\vec{\mbox{\bf P}}$$ (7.1)

$$[{\mbox{\bf Q}_\alpha }, {\mbox{\bf Q}_{\beta }}]_+ = [\bar{\mbox{\bf Q}}_{\dot{\alpha }},\bar {\mbox{\bf Q}}_{\dot{\beta }}]_+=0$$

$${ [ P_m,Q_\alpha ]_- } = [ P_m,{\bar Q}_{\dot{\alpha }} ]_-=0$$

$${[P_m,P_n]_-} = 0$$

mit $m,n = 0 \dots 3$, $\alpha , \dot{\alpha } \dots =1,2$.

7.7 Ruhige Saiten

Die Gleichung für die Auslenkung $\eta$ einer schwingenden Saite lautet:

$$\left(\frac{d^2}{d x^2} -\frac{1}{v^2}\frac{d^2}{\partial t^2}\right)\eta(x,t)=0$$ (7.2)

wobei $v$ bestimmt ist durch die lineare Massendichte $\mu$ und die Spannung $T$ der Saite: $v=\sqrt{T/\mu}$.

Die Wellengeleichung 7.2 hat die allgemeine Lösung (d'Alembert):

$$\eta(x,t)=f(x-v t) + g(x+vt)$$ (7.3)

wobei $f$ und $g$ beliebige Funktionen einer Variablen sind.